本章讨论:恒定电流产生的磁场
·磁场的描述
·磁场的计算
§1电流产生磁场
一,电流产生磁场
·传导电流(conduction current)
·分子电流(molecular current)
二,磁感(应)强度(magnetic induction)
1.磁感强度
用磁感强度 B描述磁场(大小,方向)
2.定义
·用运动电荷定义(见下一章)
·用载流小线圈定义(见下一章)
三,磁感线
1.画法
(1)磁感线上某点的切向和该点磁感强度B
的方向一致;
(2)通过垂直于B的单位面积的磁感线的条
数等于该点B的大小.磁场强处磁感线密.
2.性质
(1)两条磁感线不能相交;
(2)磁感线是环绕电流的闭合曲线.
3.典型磁感线
(1)载流长直导线
磁场的磁感线
右手:拇指— I方向;
四指---磁感线方向
(2)载流圆线圈磁
场的磁感线
右手:拇指— I方向;
四指---磁感线方向
(3)载流直螺旋线圈
磁场的磁感线
右手握住螺旋
线圈:
四指— I方向;
拇指---线圈内部的磁感线方向
(4)载流螺绕环磁
场的磁感线
右手握住螺绕环:
四指— I方向;
拇指---环内的磁感线方向
图片:典型磁感线
四,磁场的高斯定理
1.磁通量
·定义:通过某面积S的磁通量等于通过S
的磁感线的条数.
·磁通量

2.磁场的高斯定理
磁场的高斯定理(磁通连续原理):在任何磁场中,通过任意封闭曲面的磁通量恒为零.
·因为磁感线是闭合曲线,穿入封闭曲面的磁感线条数和穿出封闭曲面的磁感线条数一定相等,故通过封闭曲面的磁通量恒为零.
·B线闭合,无头无尾,这说明不存在单独磁荷(磁单极子).
小专题:*磁单极子(magnetic monopole):
·1931年狄拉克(Dirac)理论上预言了磁单
极子的存在.
·磁单极强度:

质量:.
由于m大,因此现有的加速器能量产生
不了磁单极子对;人们希望从宇宙射线中
发现.目前尚未在实验中确认磁单极子存
在.
§2毕奥—萨伐尔定律
一,毕奥—萨伐尔(Biot—Savart)定律
1.毕奥—萨伐尔定律
·欲求一电流产生的
磁场,可先把此电
流分为无限多个电
流元Idl,由实验,一个电流元(Idl )在场中P点产生的磁感强度为
毕奥—萨伐尔定律
·真空磁导率(permeability of vacuum)
(0 = 4( ( 10-7 H/m(或N/A2)
·讨论:dB
方向:由Idl ( r 决定
大小:
可见:若( =0或 (,则dB=0,即电流元在其直线延长线方向不产生磁场.
若( = (/2,则dB最大(其它因素不变的情形下)为
·导线中电流在P点产生的总磁场

此即各电流元磁场的叠加
二,磁场叠加原理
空间某点的磁场是空间所有电流(或电流元)单独在该点产生的磁场的叠加(矢量合).

三,由毕奥—萨伐尔定律求磁场
方法:(1)将电流分解为无数个电流元
(2)由电流元求dB (据毕—萨定律)
(3)对dB积分求B = (dB
矢量积分须化作分量积分去做:
Bx = (dBx ;By = (dBy ;Bz = (dBz
[例1]长直电流的磁场
解:·把直电流分为无
数电流元;
·任取一电流元Idl,它
在P点产生的磁场大
小为
;方向如图

·本例中,所有电流元在P点产生的磁场方向相同,于是P点B的大小为,
·利用r = d /sin(;l = -dcot(;dl=dd(/sin2(,
可得
·特例:对无限长直电流,
(1 = 0 ;(2 = ( ,有
[例2]圆电流轴线上任一点的磁场

解:·在圆电流上任取一电流元Idl,它在轴上P点产生的磁场dB的大小为
·dB的分量:

·考虑所有电流元在P点的贡献

每一对位置对称的电流元在P点产生的dB( 对消,可知P点的磁场只有沿x轴的分量.
·P点的磁场
方向:沿x轴
·特例:圆电流中心(x =0)处的磁场
[例3]密绕长直螺旋线圈,长为L,半径为R,线圈上单位长匝数为n,线圈中电流为I,求线圈轴线上任一点P的磁感强度.
解:·在密绕情形下,螺旋线圈可看作由很多圆形线圈紧密排列而成.
·在距P点为l的地方,取长为dl的元段,其上有ndl匝线圈,相当于dI=nIdl的圆电流.
·利用例2 的结果,dI在P点产生的磁感强度大小为(方向见图)
·各个元段在P点产生的磁感强度方向相
同,整个螺旋线圈在P点产生的磁感强度为
·由图中l =Rcot(;微分有dl= -Rcsc2(d(,
另有R2 + l2 = R2 csc2(,可得
结果为
·对L =10R的螺线线圈,其轴线上的磁感强度的分布曲线为
·特例:对"无限长"直螺旋线圈(L((R),
内部轴线上任一点:
(1(( ; (2(0
以后可知,内部任一点的磁感强度均如此.

四,匀速运动点电荷的磁场
·毕—萨定律中电流元
产生的磁场实质上是
电流元中的运动电荷产生的磁场.
·电流: I =(Snq
(n---单位体积中的运动电荷数;
(---运动电荷的漂移速度)
电流元中的运动电荷数:nSdl
·由毕—萨定律式有,
·dl和( 同向,( dl = dl (,每个运动电荷产生的磁场为dB/nSdl ,结果为
·以上是低速(( ((c)情形下匀速运动点电荷产生的磁场,高速的情形请见电磁学的最后一章.
§ 3安培环路定理
一,安培环路定理(Ampere circuital
theorem)
1.定理:在恒定电流的磁场中,磁感强度B
沿任何闭合路径L的线积分(环量)等于路
径L 所环绕的电流强度的代数和的(0倍.

说明:
(1)"环绕":设想闭合路径L为一根绳子,绳子勒紧后能把电流捆住,即为环绕.
(2) I内的正负:L(四指方向)和I内(拇指方向)
成右手关系时,I内为正.
(3)环路定理只适用于恒定
电流(闭合或延伸到无穷
远).若通过以L为边界
所张的任何曲面(如S1,
S2,…)的电流I相等,则此电流为恒定电流.
2.简证(用特例说明环路定理的正确)
特例:用通有恒定电流的无限长直导线产生的磁场.
分几种情况讨论:
L环绕电流
设L在垂直于导线
的平面内
·
环路定理正确
思考:·如果所选L的方向与图中的方向相反,如何说明环路定理正确
·如果所选路径L不在垂直于导线的平面内,如何说明环路定理正确
(2) L不环绕电流
环路定理正确
(3)推广:如果有的电流被L环绕,有的电流不被L环绕,环路定理依然正确.
二,由安培环路定理求磁场
方法:
·对称性分析(分析B的大小,方向特点)
·选取合适的环路L
·用环路定理计算磁场
[例1]求载流无限长圆柱面内外的磁场.设
圆柱面半径为R,通有恒定电流I.

解:先求柱面外的场
(1)对称性分析
·将圆柱面分为无限多窄条,每个窄条可看作是载有电流dI的无限长直导线;
·任取一对相对于图中r对称的窄条dI1,dI2,它们在图中P点产生的磁场分别为
dB1,dB2,其合磁场dB垂直于r方向(且在垂直于轴线的平面内,下同);
·P点的磁场就是所有这样一对对的窄条形成的,所以P点的磁场B一定也垂直于r方向如图.
·由于圆柱面上电流分布的轴对称性,可知
柱面外任一点的B 均垂直于相应的r方向;且距离轴线同远的场点,其B的大小相同.
(2)选合适的环路:由上分析知,应选在垂直于轴线的平面内的过P点的以r为半径的圆形环路L,环路
正方向如图.
(3)计算
由
有
结果为
同法可求:圆柱面内的磁场为
磁场分布曲线
思考:有人说:"因环路不环绕电流时,环路上磁场必为零,由此可证圆柱面内无磁场",这样的说法对吗
说明:关于对称性分析还有较简单的方法:
由圆柱面上电流分布的轴对称性说明磁场对圆柱面的轴线也有轴对称性,磁感线是在垂直于轴线的平面内以轴线为中心的同心圆,即P点的B垂直于r方向.
[例2]载流无限长直螺旋线圈内的磁场.设线圈上单位长匝数为n,线圈中电流为I,
解:·因螺旋线圈无限长,并由电流分布的对称性,可知P点的B和轴线上的B轴(前已求出)同向,即螺旋线圈内的磁感线是一组平行于轴线的直线;且距轴线同远的点其磁场大小相同
·根据以上分析,可选如图矩形环路L;
·由环路定理 有

其中左端第二,四项均为零(why )

结果为
B = B轴=(0nI (()
·同法可求:无限长直螺旋线圈外的磁场
B = 0 (()
[例3]螺绕环内部的磁场.设螺绕环有N匝线圈,线圈中通电流I,各尺寸如图.
解:·由对称性,
螺绕环内任一点
P 的磁场方向如
图(可用分析长直
螺旋线圈内部磁场
的方法来分析),且距中心同远处,磁场的大小相同.
·选如图的环路L.
·由环路定理, 有
结果为
·特例:对细螺绕环(R2 – R1(( R1或R2),
上述结果中的r可用环的中心线半径R中来代替,于是
其中 为单位周长上的匝数.

可见,在细螺绕环的情形下,其内部的磁场可视为是均匀的.
第7章结束
[ ]
dB =
(0
4(
Idl ( r
r3
L
S1
S2
I
4(
I
(
P
·
r
Idl
(S B(dS ( 0
I
I
I
磁感线
r2
I
Idl sin(
(L B(dl = (0(I内
·
B = B1 +B2 +B3 +…
( = (S B(dS
(0
dB =
[ ]
r2
4(
(0
[ ]
dB =
Idl
r3
Idl ( r
4(
(0
B = (dB = (
[ ]
P
d
r
Idl
o
(
(2
(1
dB
l
dB =
(0
4(
Idl sin(
r2
r2
Idl sin(
4(
(0
B = (dB = (
(()
2(d
4(d
(0I
B =
(cos(1 - cos(2)
(0I
B =
dB( = dB cos(
r
r2
Idl sin(
4(
(0
dB =
(
I
dB(
dB((
·
x
P
·
R
o
Idl
(
dB
(
dB(( = dB sin( = dB( R/r )
4( r2
(0 Idl
=
=
2 r3
(0 IR2
()
B =
2 (R2+x2)3/2
2R
(0 I
(0 IR2
4( r2
(0 Idl
r
R
B(( =(dB(( = (dB( R/r ) = (
4( r3
(0 IR
= (dl
B( =(dB( = (dB cos( =0
B =
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
·
l
R
L
dl
P
dB
r
(
(2
(1
·
·
dB =
A1
A2
2 (R2+l 2)3/2
(0 R2nIdl
B = dB =
2 (R2+l 2)3/2
(0 R2nIdl
B = ( [-sin(] d(
2
(0 nI
(2
1
o
5R
B = (cos(2 - cos(1)
2
(0 nI
B/(0 nI
0.500
1.000
L
x
B = (0 nI

B =

(()
2
(0 nI
端部:
I
Idl
S
(
r3
(Snq dl ( r
4(
(0
dB =
[ ]
r3
4(
(0
B =
[ ]
q ( ( r
⊙
o
dl
I
r
B
d(
(
L
磁感线
·
( B(dl = ( Bcos( dl
= ( Brd( = ( rd(
(0 I
2( r
o
⊙
= (0 I

·
I
2(
(0 I
(0
= ((L d( + (L d()
L1
磁感线
·
( B(dl = (L B(dl + ( L B(dl
·
·
L2
Q
P
1
1
2
2
·
·
·
r
P
L
L
r
B
I
R
P
R
dI1
俯视图
= (0 - (0 =0
dB1
dB2
dB
dI2
R
(0 I
B
B (Ldl = (0 I
(LB(dl = (0 I
俯视图
B外 =
P
·
(LB(dl = (0(I内
dl
r
L
r
(()
o
B
B内 = 0
(()
2(r
R
b
a
d
L
b
B轴
c
·
B
P
( a B轴(dl +( b B(dl +( c B(dl +( d B(dl = 0
(LB(dl = (0(I内
a
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
c
d
d
b
R2
( a B轴dl - ( c B dl = 0
B cd = B轴ab
L
·
B
P
(
(
(
(
n =
2(R中
N
2(R中
(0NI
B = = (0nI
(()
2(r
(0NI
B =
B (L dl = (0NI
(LB dl = (0NI ;
(LB(dl = (0(I内
o
R1
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
·
r