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专题辅导与能力提升 力学专题四 力和运动的合成与分解 |
专题四 力和运动的合成与分解
●高考趋势展望
力和运动的合成与分解，体现了矢量的运算法则，反映了物理学研究问题的重要方法.在历年的高考中常常将力和运动的合成与分解渗透在物体的平衡、动力学问题、曲线运动、带电粒子在电场、磁场中的运动、导体切割磁感线的运动等问题中进行考查.
●知识要点整合
1.平行四边形定则
平行四边形定则是矢量合成与分解遵循的法则.通过平行四边形定则将合矢量与分矢量的关系转化为平行四边形的对角线和邻边的关系，把矢量运算转化为几何运算.所以，在解决力和运动的合成与分解的问题时，作图是解题的关键.2.力的合成与分解
力的合成与分解几乎贯穿于所有涉及力的力学问题和电学问题中.求解这些问题时，常用正交分解法进行力的合成与分解，建立合适的坐标系是利用正交分解法进行力的合成与分解的关键.
3.运动的合成与分解
在物理学中，我们常把一些复杂的运动分解为两个简单的运动研究，例如，我们将平抛运动分解为一个沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动；研究带电粒子在匀强电场中的偏转时，也是将带电粒子的曲线运动分解为一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动，这样通过研究两个简单的分运动，再通过运动合成的方法就可掌握合运动的规律.利用运动的合成与分解研究实际运动时，判断应把实际运动（合运动）分解为哪两个分运动是解决问题的关键.●精典题例解读
［例1］河宽60 m，水流速度为6 m/s，小船在静水中速度为3 m/s，则它渡河的最短时间是多少？最短航程是多少米？
【解析】 小船过河问题是应用运动合成与分解的原理解决的一类典型问题，常常涉及求最短过河时间和过河的最短位移问题.当船头正指对岸航行时，过河时间最短.过河位移最短的问题有两种情况：第一种情况是当船速v2大于水速v1，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最短航程就是河宽，第二种情况是v2<v1，合速度v不可能与河岸垂直，只有当v方向越接近垂直河岸方向，航程越短.可由几何方法求得，即以v1的末端为圆心，以v2的长度为半径作圆，从v1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程方向，如图1-4-1所示.
图1-4-1
小船过河最短时间为
t= s=20 s
位移最短时船头应偏向上游河岸α角，则
cosα=
α=60°,最短位移为
s= m=120 m
［例2］1999年，中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的“雪龙”号科学考察船对北极地区海域进行了全方位的卓有成效的科学考察.“雪龙”号科学考察船不仅采用特殊的材料，而且船体的结构也满足一定的条件，以对付北极地区的冰块和冰层.它靠自身的重力压碎周围的冰块，同时又将碎冰挤向船底，如图1-4-2所示.倘若碎冰块仍挤在冰层与船体之间，船体由于受巨大的侧压力而可能解体.为此，船壁与竖直平面之间必须有一个恰当的倾斜角θ.设船壁与冰块间的动摩擦因数为μ，试问使压碎的冰块能被挤向船底，θ角应满足什么条件.
图1-4-2
【解析】 如图1-4-3所示，碎冰块受到船体对它的垂直于船壁向外的弹力FN，冰层对它的水平方向的挤压力F，船体与碎冰块间的摩擦力Ff.此外，碎冰块还受到自身重力和水对它的浮力作用，但这两个力的合力与前面分析的三个力相比很小，可忽略不计.
图1-4-3
由碎冰块的受力图可知，对于一定大小的挤压力F而言，θ越大，其沿船壁向下的分力就越大，同时垂直船壁向里的分力就越小，碎冰与船体间的压力越小，滑动摩擦力也就越小，从而碎冰块越容易被挤向船底.所以，θ角一定要大于某一临界值θ0，才能使压碎的冰块被挤向船底.
将冰块所受的力分解到沿船壁方向与垂直于船壁方向，当碎冰块处于将被挤向船底的临界状态时，由物体的平衡条件有
Fcosθ0-FN=0,
Fsinθ0-Ff=0,又Ff=μFN,
解得 tanθ0=μ.
从而，为使压碎的冰块能被挤向船底，船壁与竖直平面间的倾斜角θ必须满足θ>θ0，即θ>arctanμ.
小结：在处理实际问题时，往往忽视一些次要因素（如本题中冰块所受的重力和浮力），进行理想化的分析，而使问题的讨论得以合理简化.
本题的求解需要将定性分析与定量计算相结合，确定冰块所受冰层水平挤压力F的分解方向，研究冰块被挤向船底的临界状态，需要较强的分析推理能力.
［例3］在光滑水平面上有一质量m=1.0×10-3 kg，电量q=1.0×10-10 C的带正电小球，静止在O点.以O点为原点，在该水平面内建立直角坐标系Oxy.现突然加一沿x轴正方向、场强大小E=2.0×106 V/m的匀强电场，使小球开始运动.经过1.0 s，所加电场突然变为沿y轴正方向，场强大小仍为E=2.0×106 V/m的匀强电场.再经过1.0 s，所加电场又突然变为另一个匀强电场，使小球在此电场作用下经1.0 s速度变为零.求此电场的方向及速度为零时小球的位置.
【解析】 小球的运动分为三个过程：第一过程为小球在电场力作用下沿x轴做匀加速直线运动；第二过程为小球做“类平抛运动”，其运动可分解为沿x轴方向的匀速直线运动和沿y轴方向的匀加速直线运动；第三过程小球做匀减速直线运动.
由牛顿定律得知，在匀强电场中小球加速度的大小为a=
代入数值得
a= m/s2=0.20 m/s2
当场强沿x轴正方向时，经过1 s小球的速度大小为
vx=at=0.20×1.0 m/s=0.20 m/s
速度的方向沿x轴正方向.小球沿x轴方向移动的距离
Δx1= ×0.20×1.02 m=0.10 m
在第2 s内，电场方向沿y轴正方向，故小球在x方向做速度为vx的匀速运动，在y方向做初速为零的匀加速运动.沿x方向移动的距离
Δx2=vxt=0.20 m
沿y方向移动的距离
Δy= at2= ×0.20×1.02 m=0.10 m
故在第2 s末小球到达的位置坐标
x2=Δx1+Δx2=0.30 m
y2=Δy=0.10 m
在第2 s末小球在x方向的分速度仍为vx,在y方向的分速度
vy=at=0.20×1.0 m/s=0.20 m/s
由上可知，此时运动方向与x轴成45°角.要使小球速度能变为零，则在第3 s内所加匀强电场的方向必须与此方向相反，即指向第三象限，与x轴成135°角.
在第3 s内，设在电场作用下小球加速度的x分量和y分量分别为ax、ay，则
ax= =0.20 m/s2
ay= =0.20 m/s2
在第3 s末小球到达的位置坐标为
x3=x2+vxt- axt2=0.40 m
y3=y2+vyt- ayt2=0.20 m
小结：该题考查了学生描绘物理过程细节，还原物理模型的能力，这是今后在高考中出题的方向，注重了分析判断能力的考查.考生需在审题的基础上，弄清各个子过程的运动特点，建立清晰的物理图景，在第1 s内，带电质点沿x轴正向做初速度为零的匀加速直线运动；在第2 s内做匀减速直线运动，直到速度为零，运用运动的独立性，分别在x、y两个方向建立方程.
●应用强化训练
1.如图1-4-4所示，甲、乙两运动员同时从水流湍急的河流两岸下水游泳，甲在乙的下游且游速大于乙.欲使两人尽快在河中相遇，则应选择的游泳方向是
图1-4-4
A.都沿虚线偏下游方向游 B.都沿虚线方向朝对方游
C.甲沿虚线方向、乙沿虚线偏上游方向游 D.乙沿虚线方向、甲沿虚线偏上游方向游
【解析】 若水速为零，则因甲、乙相遇时相对位移是恒定的，只有甲、乙都沿虚线相向游动，其相对速度最大，相遇时间最短.在水速不为零的情况下，两者在相向做匀速直线运动的基础上，都附加了同样的沿水流方向的运动，因此不影响它们相对位移和相对速度的大小，相遇时间和水速为零的情况完全相同仍为最短.
另外，从位移合成的角度，更容易得到解答如下：设水速为零时，甲、乙沿虚线相向游动时位移分别为s甲和s乙，如图所示.
当水速不为零时，它们将在s甲、s乙的基础上都沿水流方向附加一个相同的位移s′，由矢量合成的三角形定则知，甲、乙两人的实际位移应分别是图中的s甲′、s乙′.由图看出，此时他们仍到达了河中的同一点——即相遇，其相遇时间与水速为零时一样为最短.
【答案】 B
2.如图1-4-5所示，一辆匀速行驶的汽车将一重物提起，在此过程中，重物A的运动情况是
图1-4-5
A.加速上升，且加速度不断增大 B.加速上升，且加速度不断减小
C.减速上升，且加速度不断减小 D.匀速上升
【解析】 根据汽车运动产生的实际效果——一方面将绳拉过定滑轮，一方面绕定滑轮转动，将汽车速度分解如图所示.由上图可知，vA=v1=vsinθ.随着汽车的运动，θ增大， vA=v1增大，故A应加速上升.
由v—t图线的意义知，其斜率为加速度，在0°～90°范围内，随θ角的增大，曲线sinθ的斜率逐渐减小，所以A上升的加速度逐渐减小.
【答案】 B
3.在封闭的玻璃管中注满清水，水中放一蜡球（直径略小于玻璃管内径），将蜡球调至管的最低点，使玻璃管竖直放置，在蜡球上升的同时将玻璃管水平向右移动.假设从某时刻t=0开始，蜡球在玻璃管内每1 s上升的高度都是5 cm，从t=0开始，玻璃管向右匀加速平移，每隔1 s通过的水平位移依次是4 cm，12 cm，20 cm，28 cm，…，试分析、计算：
（1）蜡球实际做直线运动还是曲线运动，简述你的理由.
（2）蜡球在t=2 s时的运动速度.
【解析】 （1）蜡球在水平方向上做匀加速直线运动，在竖直方向上做匀速运动，因此加速度方向与速度方向不共线，其合运动为曲线运动.
（2）设蜡球水平加速度为a，则s2-s1=aT2,a=8 cm/s2
在t=2 s时，vx=5 cm/s,vy=at=16 cm/s
vt= cm/s= cm/s≈0.168 m/s
设速度方向与水平方向成θ角，则tanθ= =3.2
【答案】 （1）曲线运动；原因略
（2）0.168 m/s，与水平方向夹角为arctan3.2
4.（2000年上海）在一次“飞车过黄河”的表演中，汽车在空中飞经最高点后在对岸着地.已知汽车从最高点至着地点经历的时间约为0.8 s，两点的水平距离约为30 m，忽略空气阻力，则汽车在最高点时的速度约为______ m/s.
【解析】 汽车从最高点以后即做平抛运动，所以由平抛运动的规律得：
v最高= m/s=37.5 m/s.
【答案】 37.5
5.（2001年京、皖、蒙春季高考）质量为m=0.10 kg的小球以v0=10 m/s的水平速度抛出，下落h=5.0 m时撞击一钢板，撞后速度恰好反向，则钢板与水平面的夹角θ=______,球要撞击钢板时动量的大小为______.
【解析】 只有小球速度方向和钢板垂直时，撞击后速度才反向，故求出撞击前小球速度方向即可明确钢板与水平方向夹角.
小球撞击钢板前水平速度：vx=v0=10 m/s，竖直速度：vy=gt=g· = m/s=10 m/s,所以速度方向与竖直方向夹角：
θ=tan-1 =tan-1 =45°,所以钢板方向与水平方向夹角α=45°,如图所示
碰前小球动量大小为：
p=mv=m =0.10× kg·m/s= kg·m/s.
【答案】 45°； kg·m/s
6.水平抛出一物，其速度方向由与水平方向成45°角变为60°角所经历的时间为t.求平抛物体的初速度.
【解析】 根据题意及平抛运动的特点，可得其速度随时间变化的矢量图，如图所示.由图易知： vy1=v0,vy2= v0.
由于平抛物体在竖直方向上做自由落体运动，其竖直分速度由vy1变为vy2历时t，所以有：
vy2-vy1=gt
即： v0-v0=gt
所以v0= gt.
【答案】 gt
7.如图1-4-6所示，A、B、C为平抛物体运动轨迹上的三点，已知A、B间与B、C间的水平距离均为x，而竖直方向间的距离分别为y1、y2.试根据上述条件求平抛物体的初速度及B点瞬时速度的大小.
图1-4-6
【解析】 由A、B间和B、C间水平位移相等知,物体从A运动到B和从B运动到C的时间相等，设为t.因平抛物体竖直方向为加速度等于g的匀加速直线运动，所以y2-y1=gt2，所以t= ，所以平抛初速度v0= =x· ；
物体在B点的竖直分速度vBy= ，水平分速度vBx=v0=x
所以vB=
=
【答案】
v0=x· ；
vB=
8.如图1-4-7所示，临界角C为45°的液面上有一点光源S发出一束光垂直入射到水平放置于液体中且距液面为d的平面镜M上.当平面镜M绕垂直过中心O的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过，则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少？
图1-4-7
【解析】 当平面镜M以角速度ω逆时针转动时，反射光线将以角速度2ω同向转动.反射光线射到水面形成的光斑（应是人看到折射光线出射处）以s向左沿水面移动.将其移动速度v分解如图.
由图可知，θ越大，OP越大，v越大.但当θ＞45°时，反射光线OP将在水面发生全反射，观察者将看不到光斑，因此，当θ角非常接近45°时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为vm= =4dω.
【答案】 4dω
9.图1-4-8是压榨机的原理示意图，B为固定铰链，A为活动铰链，在A处作用一水平力F，滑块C就以比F大得多的压力压物体D，已知图中l=0.5 m,b=0.05 m,F=200 N,C与左壁接触面光滑，求D受到的压力多大？（滑块和杆的重力不计）
图1-4-8
【解析】 力F作用的效果是对AB、AC两杆沿杆方向产生挤压作用，固此可将F沿AB、AC方向分解为F1、F2，则F2= .
力F2的作用效果是使滑块C对左壁有水平向左的挤压作用，对物体D有竖直向下的挤压作用.因此，可将F2沿水平方向和竖直方向分解为力F3、F4，则物体D所受的压力为
FN=F4=F2sinα= ·sinα= tanα.
由题图可知tanα= =10,且
F=200 N,故
FN=1000 N.
【答案】 1000 N
●教学参考链接
因矢量运算和标量运算遵守不同的运算法则，因此在物理教学和物理复习中，一定要弄清楚高中物理中所学物理量的性质，即哪些物理量属于矢量，哪些物理量属于标量.
在各种矢量的分解、合成计算中，以力和速度的分解、合成较为多见，也是历年高考常考知识点之一，因此应把力和速度合成、分解的平行四边形定则和三角形定则作为本专题的重点.
对矢量差的计算，容易和标量差相混淆，是学生掌握的难点，应通过一定数量习题的练习，以强化学生对这一问题的认识和理解.
另外，像“岸人拉船”类问题中速度的分解，也是学生学习中不易理解和掌握的知识点，复习中也应予以足够的重视.
平抛运动的处理方法代表了中学阶段处理曲线运动的一般方法——以曲化直，即把曲线运动分解为我们所熟知的直线运动.通过该专题的训练，应使学生理解并掌握这种思路和方法.
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