课    题：2.3.2函数的单调性2

1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.

2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.

教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤.

教学难点：单调性的综合运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

1.对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值

⑴若当 < 时，都有 < ,则说 在这个区间上是增函数；

⑵若当 < 时，都有  > ,则说 在这个区间上是减函数.

2.若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设 , 是给定区间内的任意两个值，且 < ；⑵作差 － ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断 － 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据 － 的符号确定其增减性.

1．函数单调性的证明

例1．判断并证明函数 的单调性

证明：设 则

∵   ∴  ， ,

∴ 即  （注：关键 的判断）

∴ 在R上是增函数.

2．复合函数单调性的判断

对于函数 和 ，如果 在区间 上是具有单调性，当 时， ，且 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性的规律见下表：

	增 ↗		减 ↘
	增 ↗	减 ↘	增 ↗	减 ↘
	增 ↗	减 ↘	减 ↘	增 ↗

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

证明：①设 ，且

∵ 在 上是增函数，

∴ ，且

∵ 在 上是增函数，∴ .

所以复合函数 在区间 上是增函数

②设 ，且 ，∵ 在 上是增函数，

∴ ，且

∵ 在 上是减函数，∴ .

所以复合函数 在区间 上是减函数

③设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，

∴ ，且

∵ 在 上是增函数，∴ .

所以复合函数 在区间 上是减函数

④设 ，且 ，∵ 在 上是减函数，

∴ ，且

∵ 在 上是减函数，∴ .

所以复合函数 在区间 上是增函数

例2．求函数 的值域，并写出其单调区间

解：题设函数由 和 复合而成的复合函数，

函数 的值域是 ，

在 上 的值域是 .

故函数 的值域是 .

对于函数的单调性，不难知二次函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；

二次函数 区间 上是减函数，在区间 上是增函数

当 时， ，即 ， 或 .

当 时， ，即 ， .

 

 

 

 

因此，本题应在四个区间 ， ， ， 上考虑

① 当 时， ，

而 在 上是增函数， 在 上是增函数，所以，函数 在区间 上是增函数

②当 时， ，

而 在 上是增函数， 在 上是减函数，

所以，函数 在区间 上是减函数

③当 时， ，

而 在 上是减函数， 在 上是减函数，

所以，函数 在区间 上是增函数

④当 时， ，

而 在 上是增函数， 在 上是减函数，所以，函数 在区间 上是减函数

综上所述，函数 在区间 、 上是增函数；在区间 、 上是减函数

另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性

三、课堂练习：课本P60练习：3，4

  四、小结  本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法

五、课后作业：课本第60习题2.3：4，5，6，7

六、板书设计（略）