课    题：2.6.1  指数函数1

教学目的：

1.理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质.

2.培养学生实际应用函数的能力

教学重点：指数函数的图象、性质

教学难点：指数函数的图象性质与底数a的关系.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教材分析：

指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛 它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数

前面已将指数概念扩充到了有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质 指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识 函数图象是研究函数性质的直观图形 指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律 本节安排的图象的平行移动的例题，一是为了与初中讲二次函数图象的变化相呼应，二是为以后各章学习函数或向量的平移做些准备

教学过程：

引例1（P57）：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？

分裂次数：1，2，3，4，…，x

细胞个数：2，4，8，16，…，y

由上面的对应关系可知，函数关系是 .

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为

在 , 中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.

我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

1．指数函数的定义：

函数 叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？

①若a=0，则当x>0时， =0；当x 0时， 无意义.

②若a<0，则对于x的某些数值，可使 无意义. 如 ，这时对于x= ，x= ，…等等，在实数范围内函数值不存在.

③若a=1，则对于任何x R， =1，是一个常量，没有研究的必要性.

为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a¹1 在规定以后，对于任何x R， 都有意义，且 >0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).

探究2：函数 是指数函数吗？

指数函数的解析式y= 中， 的系数是1.

有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y= +k (a>0且a 1，k Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=  (a>0,且a 1)，因为它可以化为y= ，其中 >0，且 1

2.指数函数的图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y= ，y= ，y= ，y= 的图象.

列表如下：

我们观察y= ，y= ，y= ，y= 的图象特征，就可以得到 的图象和性质

例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）

分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求

解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y

经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;

经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;

……

一般地，经过x年，剩留量

y=0.84

根据这个函数关系式可以列表如下：

用描点法画出指数函数y=0.84x的图象 从图上看出y=0.5只需x≈4.

答：约经过4年，剩留量是原来的一半

评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现

例2 （课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：

① ， ；    ② ， ；    ③ ，

解：利用函数单调性

① 与 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= ，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y= 在R是增函数，而2.5<3，所以， < ；

② 与 的底数是0.8，它们可以看成函数 y= ，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y= 在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以， < ；

③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号： >1； <1； >

小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.

四、练习：⑴比较大小：  ,

⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：

m < n； m < n.

⑶比较下列各数的大小：          ，

五、小结  本节课学习了以下内容：指数函数概念，指数函数的图象和性质

六、课后作业：

七、板书设计（略）