课    题：2.6.2  指数函数2

教学目的：

1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质

2.掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；

3. 培养学生数学应用意识

教学重点：指数形式的函数定义域、值域

教学难点：判断单调性.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

的图象和性质

例1求下列函数的定义域、值域：

⑴      ⑵    ⑶

分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象 注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围

解（1）由x-1≠0得x≠1

 所以，所求函数定义域为{x|x≠1}

由         ，得y≠1

 

所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}

说明：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令 ，考察指数函数y= ,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理

（2）由5x-1≥0得

所以，所求函数定义域为{x| }

由 ≥0得y≥1

所以，所求函数值域为{y|y≥1}

（3）所求函数定义域为R

由 >0可得 +1>1

所以，所求函数值域为{y|y>1}

通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性

例2求函数 的单调区间，并证明

解：设

  则

  ∵        ∴

  当 时，  这时

  即   ∴ ，函数单调递增

  当 时，  这时

  即   ∴ ，函数单调递减

  ∴函数y在 上单调递增，在 上单调递减

解法二、（用复合函数的单调性）：

设：   则：

对任意的 ，有 ，又∵ 是减函数

∴   ∴ 在 是减函数

对任意的 ，有 ，又∵ 是减函数

∴   ∴ 在 是增函数

引申：求函数 的值域 （ ）

小结：复合函数单调性的判断(见第8课时)

例3设a是实数，

试证明对于任意a, 为增函数；

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明 还应要求学生注意不同题型的解答方法

（1）证明：设 ∈R,且

则

由于指数函数 y= 在R上是增函数,且 ,

所以 即 <0，

又由 >0得 +1>0, +1>0

所以 <0即

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数， 为增函数

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性

三、练习：

求下列函数的定义域和值域：

⑴                     ⑵

解：⑴要使函数有意义，必须  ,  

  当 时   ；  当 时   

  ∵    ∴    ∴值域为  

⑵要使函数有意义，必须   即

  ∵      ∴

  又∵      ∴值域为

五、小结  本节课学习了以下内容：

指数形式的函数定义域、值域的求法，判断其单调性和奇偶性的方法

六、课后作业：

七、板书设计（略）