课    题：2.7.3 对数的换底公式及其推论

教学目的：

1．掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；

教学重点：换底公式及推论

教学难点：换底公式的证明和灵活应用.

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：对数的运算法则

如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0  有：

1.对数换底公式：

  ( a > 0 ,a ¹ 1 ，m > 0 ,m ¹ 1,N>0)

证明：设  N = x , 则  = N

  两边取以m 为底的对数：

  从而得：   ∴

2.两个常用的推论:

① ，   

② （ a, b > 0且均不为1）

证：①

    ②

例1 已知 3 = a， 7 = b,  用 a, b 表示  56

解：因为 3 = a，则   , 又∵ 7 = b,

  ∴

例2计算：①      ②

  解：①原式 =

      ②原式 =

例3设  且       

1°  求证     ；  2°   比较 的大小

     证明1°：设   ∵   ∴

          取对数得：  ， ，

 ∴

     2° 

          ∴    

  又：

    ∴                 

∴

例4已知 x= c+b，求x

分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将 c移到等式左端，或者将b变为对数形式

解法一：

由对数定义可知：

解法二：

由已知移项可得    ，即

由对数定义知：  

解法三：

      

①已知  9 = a ,  = 5 ,  用 a, b 表示 45

解：∵  9 = a  ∴   ∴ 2 = 1-a

    ∵  = 5  ∴ 5 = b  

    ∴    

②若 3 = p ,  5 = q  , 求 lg 5

解：∵ 3 = p   ∴  ＝p 

  又∵    ∴  

三、小结  本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业：

  1．证明：

   证法1：  设  ， ，

    则：          

       ∴       从而

   ∵      ∴   即： （获证）

证法2： 由换底公式 左边＝ ＝右边

 2．已知

   求证：

  证明：由换底公式  由等比定理得：

        ∴  

 ∴

五、板书设计（略）