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课 题：2.9.1函数应用举例1 |
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课 题：2.9.1函数应用举例1
教学目的：
1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型；
2．掌握根据已知条件建立函数关系式；
3.培养学生的数学应用意识.
教学重点：根据已知条件建立函数关系式
教学难点：数学建模意识.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动．
在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％．
2．指数函数 的图象和性质：
3．对数函数 的图像和性质：
二、新授内容：
数学模型与数学建模
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.
数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.
三、讲解范例：
例1 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数 ,
， 中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求出a,b的值．
⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
分析：根据上表的数据描点画出图象，观察这个图象，发现各点的连线是一条向上弯曲的曲线，因此，可以判断它不能用函数 来近似反映．根据这些点的走向趋势，我们可以考虑用函数 来近似反映
图 1 图 2
解：⑴将已知数据输入计算机，画出图1；
根据图1，选择函数 进行拟合．
如果保留两位小数可得 a=2，b=1.02
所以，该地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为
将已知数据代人所得函数关系式，或作出所得函数的图象图 2，可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系．
⑵将x=175代人 得
计算得 y=63.98，
由于 ，
所以，这个男生体重偏胖．
注：①例1是实际应用问题．解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义做出回答．这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形．
②给出另两个函数的拟合结果
小结1：函数拟合与预测的步骤：
在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤：
⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图．
⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．
⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
例2 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2 万件、1.3 万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，
用一个函数模拟该产品的月产量 与月份的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 （其中 为常数） 已知4月份该产品的产量为1.37万件， 请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由
讲解：根据题意，该产品的月产量 是月份 的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式
设 为常数，且 ，
，
根据已知，得 及 解得
显然 更接近于1.37，故选用 作为模拟函数较好
注：确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键
例3用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域.
分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用.
解：如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD=
因此y=2x· ,
即y=-
再由
解之得0＜x＜
即函数式是y=- · +mx
定义域是：（0， ）
小结2：（1）数学应用题的能力要求
①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力；
（2）解答应用题的基本步骤
①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原.
例4 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域.
分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式.
解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上
设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，
由此Rt△ADE∽Rt△ABD.
∴AD2=AE·AB，即AE=
∴CD=AB-2AE=2R-
所以，y=2R+2x+(2R- ),即y=- +2x+4R
再由
∴周长y与腰长x的函数式为：y=- ( +2x+4R),定义域为：（0， R）
评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形.
四、练习：
1．中国人口问题
“人口问题”是我国最大的社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础．由人口统计年鉴，可查得我国从1949年到1994年人口数据资料如下：
试估计我国2010年的人口数．
2．销售额问题
某县乡镇企业局，要求预测1990年～1991年轻工产品人均销售额，根据初步分析，人均销售额yt和人均国民收人xt的数据如下表所示，1990年及1991年人均国民收入计划值分别为514．1元/人、 550．l元／人．
五、小结 通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步掌握解决实际问题的能力.
六、课后作业：
课本P88练习
1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线长为d，截面的面积为A，求面积A以x为自变量的函数式，并写出它的定义域.
解：如图，截面的一条边为x，对角线AC=d,另一条边BC= ,所以S=x ,定义域为：{x|0＜x＜d
2.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域.
解：∵底面边长为a-2x,∴底面积为(a-2x)
又长方体高为x,∴长方体体积V=x(a-2x)
由a-2x＞0,得x＜
又x＞0,∴函数定义域为{x|0＜x＜
课本P89习题2.9
1.建筑一个容积为8000 m3，深为6 m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数.
解：设底面的另一边长为z(m)，则根据题意有6xz=8000,z=
池壁造价为a·(2x+2z)·6=12a(x+ )
池底造价为2a· a
所以，总造价：y=［12a(x+ )+ a］(元)
2.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，求横断面中有水面积A（m2）与水深h(m)的函数关系式
解：如图，作AC⊥CE，BD⊥CE，
∴Rt△BDE面积： h ，矩形面积：2h
∴A=S矩+2 =2h+2× h =h +2h(m )
七、板书设计（略）
八、课后记： |
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