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| 卷一 |
课 题：函数复习小结（二） |
课 题：函数复习小结（二）
教学目的：
1.熟悉并掌握函数的对称语言.
2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.
3.把握数形结合的特征和方法.
4.能够应用函数思想解题.
5.了解与函数有关的数学模型.
教学重点：数形结合的特征与方法
教学难点：函数思想的应用
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、引入：
通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.
二、例题分析：
例1若函数f(x)=x +bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（ ）
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.
解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)
在x＜2时，y=f(x)为减函数
∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)
即f(2)＜f(1)＜f(4) 答案：A
通过此题可将对称语言推广如下：
（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴
（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x= 是f(x)的对称轴.
例2求f(x)=x -2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.
解：先求最小值.
因为f(x)的对称轴是x=a，可分以下三种情况：
（1）当a＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;
(2)当2≤a＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a ;
(3)当a＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a
综上所述：f(x)min=
最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a
(1)当a≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;
(2)当a＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.
故f(x)max=
评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.
例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a＜b＜c,若f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）
A.a＜1,b＜1,且c＞1 B.0＜a＜1,b＞1且c＞1
C.b＞1,c＞1 D. c＞1且 ＜a＜1,a＜b＜
分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1）内是减函数，在（1，+∞）上为增函数.
观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c＞1且 ＜a＜1,a＜b＜ .答案：D
评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数图象在函数单调性问题中的应用.
例4函数f(x)=x -bx+c，满足对于任何x∈R都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b )与f(c )的大小关系是（ ）
A.f(b )≤f(c ) B.f(b )≥f(c )
C.f(b )＜f(c ) D.f(b )＞f(c )
分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b值，再由f(0)=3,可确定c值，然后结合b ,c 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.
解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=- =1
∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,
∴f(x)=x -2x+3
(1)当x＞0时，1＜2 ＜3 ,且f(x)在［1，+∞ 上是增函数
所以f(2 )＜f(3 ),即f(b )＜f(c )
(2)当x＜0时，1＞2 ＞3 ,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2 )＜f(3 )，即f(b )＜f(c )
(3)当x=0时，2 =3 =1
则f(2 )=f(3 ),即f(b )=f(c )
综上所述，f(b )≤f(c ).
答案：A
三、课堂练习：
已知f(x)=x -4x-4,x∈［t,t+1］(t∈R)，求f(x)的最小值φ（t）的解析式.
解：f(x)=(x-2) -8
(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t＜2时，φ(t)=f(2)=-8.
(2)当t＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t -4t-4.
(3)当t+1＜2，即t＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.
故φ(t)=f(t+1)=t -2t-7
综上所述：φ(t)=
四、课时小结：
本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.
五、课后作业：
1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T和Q（万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P= ，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？
解：设投入养殖业为x万元，则投入养殖加工生产业为60-x万元
由题意：P+Q= (0≤x≤60)
设t= ,则0≤t≤ ,x=60-t
P+Q= (60-t )+ t=- (t-5) +
∴当t=5时，即x=35时，（P+Q）max= .
∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润 万元.
2.已知 ，求函数 的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的 的值
答案： 时， 取最大值13； 时， 取最小值6
3.设集合 , ，函数
（1）设不等式 的解集为C，当 时，求实数 的取值范围；
（2）若对任意实数 ，均有 恒成立，求 时， 的值域；
（3）当 时，证明
答案：（1） （2）
（3）因为对称轴 ，
故只需证明 ， ， 即可
十二、板书设计（略）
十三、课后记： |