课    题：3.1 等差数列等差数列的性质

1.明确等差中项的概念.

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.

教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用

教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
      本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便

教学过程：

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即 － =d ，（n≥2，n∈N ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）

  ( 或 =pn+q (p、q是常数))

3．有几种方法可以计算公差d
① d= －     ② d=     ③ d=   

   二、讲解新课：  

问题：如果在 与 中间插入一个数A，使 ，A， 成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A- = -A    ，即：

反之，若 ，则A- = -A

由此可可得： 成等差数列

也就是说，A= 是a,A,b成等差数列的充要条件

定义：若 ，A， 成等差数列，那么A叫做 与 的等差中项

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项

如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项

看来，

性质：在等差数列中，若m+n=p+q，则，

即  m+n=p+q  (m, n, p, q ∈N ) 

但通常 ①由  推不出m+n=p+q ，②

例1在等差数列{ }中，若 + =9, =7, 求  ,  .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……

解：∵ {a_n }是等差数列
         ∴ + = +  =9 =9－ =9－7=2
         ∴ d= － =7－2=5
         ∴ = +(9－4)d=7+5*5=32
         ∴    =2, =32

例2 等差数列{ }中， + + =－12, 且 · · =80. 求通项  

分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题 而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来

解： + =2  
        
     =－10,  =2 或 =2, =－10
    ∵ d=       ∴ d=3 或－3
   ∴ =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5

例3在等差数列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9项和 .

  解：由等差中项公式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2

由条件 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得

5 ＝450, ＝90, 

∴ ＋ ＝2 ＝180.

    ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋

＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋

＝9 ＝810.

例4已知a、b、c的倒数成等差数列，求证： ， ，   

的倒数也成等差数列

分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z

 证明：因为a、b、c的倒数成等差数列

       ∴ ，即2ac=b(a+c)

   又 + = -2

= -2= -2

= -2= -2

= -2=

所以 ， ， 的倒数也成等差数列

四、练习：

1.在等差数列 中，已知 ， ，求首项 与公差

解：由题意可知

解之得 即这个数列的首项是-2，公差是3

或由题意可得： 即：31=10+7d

可求得d=3，再由 求得₁=-2  

2. 在等差数列 中, 若     求  

       解：   即    ∴

          从而

3.在等差数列 中若 ， ， 求

      解：∵ 6+6=11+1   7+7=12+2   ……

          ∴        ……

        ∴ + 2

        ∴ =2 -

                           =2×80-30=130

  五、小结  本节课学习了以下内容：

1． 成等差数列

2．在等差数列中， m+n=p+q  (m, n, p, q ∈N ) 

六、课后作业：

1.在等差数列 中， 为公差，若 且

求证：1°     2°    

证明：1°设首项为 ，

        

         ∵    ∴

           2°  ∵

              

               ∴

2.在等差数列 中， 若     求      

           解：  即    ∴

      3.在等差数列 中，若  求

           解： =

4.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数．

     解：设四个数为

         则：

         由①：    代入②得：

         ∴ 四个数为2,5,8,11或11,8,5,2．

5在等差数列 中，若  求 ．

  解：∵   ∴   

七、板书设计（略）