课    题：3.3 等差数列的前n项和（一）

1．掌握等差数列前n项和公式及其获取思路．

 2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题          

教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应

教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
      本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和 解决数列和的最值问题 等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现 通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法

教学过程：

首先回忆一下前几节课所学主要内容：

1．等差数列的定义： － =d ，（n≥2，n∈N ）

  ( 或 =pn+q (p、q是常数))

① d= －     ② d=     ③ d=    

4．等差中项： 成等差数列

6．数列的前n项和：

数列 中， 称为数列 的前n项和，记为 .

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：

“1+2+3+…+100=5050

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法

   二、讲解新课：  

 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?

这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？

这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.

1．等差数列的前 项和公式1：

证明：     ①

         ②

①+②：

      ∵

   ∴   由此得：

   从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性

 2． 等差数列的前 项和公式2：  

   用上述公式要求 必须具备三个条件：

    但   代入公式1即得：

    此公式要求 必须已知三个条件：  （有时比较有用）

总之：两个公式都表明要求 必须已知 中三个

公式二又可化成式子：

，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？

解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为 ，其中 ，根据等差数列前n项和的公式，得

答：V形架上共放着7260支铅笔

例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？

解：设题中的等差数列为 ，前n项为

则

由公式可得

解之得： （舍去）

∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54

例3 .已知等差数列{ }中 =13且 = ,那么n取何值时, 取最大值.

解法1：设公差为d，由 = 得：

3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2

d= -2,  =13-2(n-1),  =15-2n,

由 即 得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时, 取最大值.

解法2:由解1得d= -2,又a₁=13所以

    = - n +14 n

       = -（n-7） +49

∴当n=7， 取最大值

（1） 利用 :

当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值

当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值

（2） 利用 ：

由 利用二次函数配方法求得最值时n的值

四、练习：

1．求集合 的元素个数，并求这些元素的和

          解：由 得  

              ∴正整数 共有14个即 中共有14个元素

              即：7，14，21，…，98 是

              ∴    答：略

        2.  已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， 

         求其前 项和的公式.

           解：由题设：    

               得：  

                ∴

  五、小结  本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前 项和公式1：  

2.等差数列的前 项和公式2：  

3. ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

（3） 利用 :

当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值

当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值

（4） 利用 ： 二次函数配方法求得最值时n的值

六、课后作业：

已知等差数列的前 项和为 ，前 项和为 ，求前 项和．

解：由题设       ∴  

而

七、板书设计（略）