课    题：3.3 等差数列的前n项和（二）

1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.

2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题.

教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式

教学难点：灵活应用求和公式解决问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

内容分析：
      本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的

教学过程：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1.等差数列的前 项和公式1：  

2.等差数列的前 项和公式2：  

3. ，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

（1） 利用 :

当 >0，d<0，前n项和有最大值 可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值

当 <0，d>0，前n项和有最小值 可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值

（2） 利用 ：由 二次函数配方法求得最值时n的值

   二、例题讲解  

例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N^*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和.

解：由2n－1＜60,得n＜ ,又∵n∈N^*

∴满足不等式n＜ 的正整数一共有30个.

即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以 =1, =59,n=30的等差数列.

∵ = ,∴ = =900.

答案：集合M中一共有30个元素，其和为900.

例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和

分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N^*}

解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N^*}

由3n+2＜100,得n＜32 ,且m∈N^*,

∴n可取0，1，2，3，…，32.

即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.

把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98.

它们可组成一个以 =2,d=3, =98,n=33的等差数列.

由 = ,得 = =1650.

答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650.

例3已知数列 是等差数列， 是其前n项和，

求证：⑴ ， - ， - 成等差数列；

⑵设  （ ）成等差数列

证明：设 首项是 ，公差为d

则

∵

  ∵∴

是以36d为公差的等差数列

同理可得 是以 d为公差的等差数列.

三、练习：

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式.

分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解.

解：根据题意，得 =24, － =27

则设等差数列首项为 ,公差为d,

则

解之得：      ∴ =3+2（n－1）=2n+1.

2．两个数列1, , , ……, , 5和1, , , ……, , 5均成等差数列公差分别是 , , 求 与 的值

  解：5＝1＋8 , ＝ , 又5＝1＋7 , ＝ , ∴ ＝ ;

         + +……+ ＝7 ＝7× ＝21,

+ + ……+ ＝3×(1＋5)＝18,

      ∴  ＝ .

  3．在等差数列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{ }的前n项和 的最小值

  解法1：∵ ＝ ＋3d, ∴ －15＝ ＋9, ＝－24,

∴ ＝－24n＋ ＝ [(n－ ) － ],

     ∴ 当|n－ |最小时， 最小，

即当n＝8或n＝9时， ＝ ＝－108最小.

  解法2：由已知解得 ＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1),

由 ≤0得n≤9且 ＝0,

∴当n＝8或n＝9时， ＝ ＝－108最小.

  四、小结  本节课学习了以下内容： 是等差数列， 是其前n项和，则  （ ）仍成等差数列

五、课后作业：

1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.

  解：由(n－2)·180＝100n＋ ×10，

求得n －17n＋72＝0,   n＝8或n＝9,

当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8.

2．已知非常数等差数列{ }的前n项和 满足

(n∈N, m∈R), 求数列{ }的前n项和.

解：由题设知

＝lg( )＝lgm ＋nlg3＋ lg2,

 即 ＝[ ]n ＋(lg3＋ )n＋lgm ,

 ∵ { }是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

∴ ≠0且lgm ＝0, ∴ m＝－1,

 ∴ ＝(－ lg2)n ＋(lg3－ lg2)n,

 则 当n=1时， ＝

当n≥2时, ＝ － ＝(－ lg2)(2n－1)＋(lg3－ lg2)

＝

∴ ＝

 d= =

=

               =

数列{ }是以 = 为首项,5d= 为公差的等差数列，    ∴数列{ }的前n项和为

n·( )＋ n(n－1)·( )＝

 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d.

  解：设这个数列的首项为 , 公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列，由已知得 , 解得d＝5.

解法2：设偶数项和与奇数项和分别为S偶，S奇，则由已知得 ,求得S偶＝192，S奇＝162，S偶－S奇＝6d, ∴ d＝5.

 4．两个等差数列，它们的前n项和之比为 , 求这两个数列的第九项的比

  解： .

5．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和

 解：在等差数列中，

, － , － , ……, － , － , 成等差数列，

  ∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，

10 ＋ ·D＝ ＝10, 解得D＝－22

   ∴ － ＝ ＋10×D＝－120, ∴ ＝－110.

6．设等差数列{ }的前n项和为 ，已知 ＝12， >0， <0，(1) 求公差d的取值范围；

(2) 指出 , , , ……, 中哪一个最大，说明理由

  解：(1) ,

∵ ＝ ＋2d＝12, 代入得   , ∴ － <d<－3,

(2) ＝13 <0, ∴ <0, 由 ＝6( ＋ )>0, ∴ ＋ >0,

∴ >0,     最大.

六、板书设计（略）