课    题：3.4 等比数列（二）

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.深刻理解等比中项概念.

3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

教学重点：等比中项的理解与应用

教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即： =q（q≠0）

2.等比数列的通项公式:

，

3．｛ ｝成等比数列 =q（ ,q≠0）

  “ ≠0”是数列｛ ｝成等比数列的必要非充分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

   二、讲解新课：  

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.  即G=± （a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则 ，

反之，若G =ab,则 ，即a,G,b成等比数列

∴a,G,b成等比数列 G =ab（a·b≠0）

2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则

在等比数列中，m+n=p+q， 有什么关系呢？

由定义得：  

  ，

则

3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

4．等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, { }是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, { }是递减数列;当q=1时, { }是常数列;当q<0时, { }是摆动数列;

例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号，

求证：  也成等比数列

证明：由题设：b²=ac   得：

∴  也成等比数列

例2 已知 是项数相同的等比数列，求证 是等比数列.

证明：设数列 的首项是 ，公比为 ; 的首项为 ，公比为 ，那么数列 的第n项与第n+1项分别为：

它是一个与n无关的常数，所以 是一个以q₁q₂为公比的等比数列.

例3  (1) 已知{ }是等比数列，且 , 求

        (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列， 成等比数列，求

解：(1) ∵{ }是等比数列，

∴ ＋2 ＋ ＝( ＋ ) ＝25,

又 >0, ∴ ＋ ＝5;

        (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,

又a , 1, c 成等比数列, ∴a  c ＝1, 有ac＝1或ac＝－1,

当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，

        ∴ ac＝－1,     

         ∴  .

例4 已知无穷数列 ，

      求证：（1）这个数列成等比数列

           （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 ，

           （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1） （常数）∴该数列成等比数列

        （2） ，即：

         （3） ，∵ ，∴

            ∴ 且 ，

∴ ，（第 项）

例5 设 均为非零实数， ，

    求证： 成等比数列且公比为

证一：关于 的二次方程 有实根，

  ∴ ，∴

  则必有： ，即 ，∴ 成等比数列

  设公比为 ，则 ， 代入

  ∵ ，即 ，即

证二：∵

      ∴

      ∴ ，∴ ，且

      ∵ 非零，∴

四、练习：

1．求 与 的等差中项；

解： ( ＋ )＝5;

2．求a ＋a b 与b ＋a b 的等比中项

      解：± ＝±ab(a ＋b ).

五、小结  本节课学习了以下内容：

1．若a，G，b成等比数列，则 叫做 与 的等经中项.

2．若m+n=p+q，

3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法

六、课后作业：

1、在等比数列 ，已知 ， ，求

     解：∵ ，∴

      2、在等比数列 中， ，求该数列前七项之积

     解：

     ∵ ，

∴前七项之积

3、在等比数列 中， ， ，求 ，

     解：

   另解：∵ 是 与 的等比中项，∴

         ∴

七、板书设计（略）