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| 卷二 |
课 题：数列复习小结（二） |
课 题：数列复习小结（二）
教学目的：
1．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用
2．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧
授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一引入：
上一节总结了数列的有关概念、方法、公式等，本节继续通过讲解例题，进一步加深和提高运用所学知识解决问题的灵活性
二、例题讲解
例1 在△ABC中，三边 成等差数列， 也成等差数列，求证△ABC为正三角形
证：由题设， 且
∴
∴ 即 从而
∴ （获证）
例2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，
问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？
2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？
解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{ }，则：
a = 0.2 kg , a = ×0.2 kg , a = ( ) ×0.2 kg
由此可见： = ( ) ×0.2 kg ,
= ( ) ×0.2= ( ) ×0.2=0.0125 kg
2.由1.得{ }是等比数列 a =0.2 , q=
例3在等比数列 中， ，求 的范围
解：∵ ，∴
又∵ ，且 ，∴ ，
∴ 解之：
当 时， ，∴
（∵ ）
当 时， ，
∵ 且必须为偶数
∴ ，（∵ ）
例4 设{ }, { }都是等差数列，它们的前n项和分别为 , , 已知 ,求⑴ ；⑵
⑴ 解法1： ＝ ＝
＝ .
⑴解法2：∵{ }, { }都是等差数列
∴可设 ＝kn(5n+3), =kn(2n-1)
∴ = - = k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
= - =k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴ = =
⑵解：由⑴解法2，有
= - = k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
= - =k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴ ＝k 5 (10 5-2)=240k
＝k 8 (4 8-3)=232k
∴ =
例5设等差数列{ }的前n项和为 ,
(1) 如果a ＝9, S ＝40, 问是否存在常数c，使数列{ }成等差数列；
(2) 如果 ＝n －6n, 问是否存在常数c，使得 ＝ 对任意自然数n都成立
解：(1) 由a ＝9, S ＝40, 得a ＝7, d＝2,
∴ ＝2n＋5, ＝n2＋6n, ＝
∴ 当c＝9时, ＝n＋3是等差数列；
(2) ＝ 对任意自然数n都成立，
等价于{ }成等差数列,
由于 ＝n －6n
∴ ＝ ,
即使c＝9, ＝|n－3|, 也不会成等差数列，
因此不存在这样的常数c使得 ＝ 对任意自然数n都成立
三、课后作业：
1．已知 , a , , …, , …构成一等差数列，其前n项和为 ＝n , 设 ＝ , 记{ }的前n项和为 , (1) 求数列{ }的通项公式；(2) 证明： <1.
解：(1) ＝ ＝1, 当n≥2时, ＝ － ＝2n－1;
由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).
(2) ＝ ,
∴ ＝ ,
两式相减得
＝ ＋ ＝ ＋ (1－ )－ ,
∴ ＝ ＋ (1－ )－ <1,
2．已知等差数列{ }的前n项和为 ， ＝ , 且 ＝ , ＋ ＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证： ＋ ＋ ＋……＋ <2.
解：(1)设等差数列{ }的首项为 , 公差为d,则 ＝( ＋2d)· ＝ ,
＋ ＝8 ＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,
∴ ＝n, ＝ , ＝ ;
(2) ＋ ＋ ＋……＋
＝2·[(1－ )＋( － )＋……＋( )]<2.
23．已知函数f (x)＝(x－1) , 数列{ }是公差为d的等差数列，数列{ }是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若 ＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{ }, { }的通项公式；
(2) 设数列{ }对任意的自然数n均有
成立，求 ＋ ＋ ＋……＋ 的值
解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2) , ＝f (d＋1)＝d ,
∴ － ＝2d, 即d －(d－2) ＝2d,
解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),
又 ＝f (q－1)＝(q－2) , ＝f (q＋1)＝q , ＝q ,
∴ ＝q ,
∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴ ＝1, ＝3
(2) 设 ＝ (n∈N), 数列{ }的前n项和为 ,
则 ＝ ＝2n, ＝ ＝2(n－1),
∴ － ＝2, 即 ＝2, ∴ ＝2 ＝2·3
∴ ＋ ＋ ＋……＋
＝2＋2·3 ＋……＋2·3 ＝ ＝ ,
四、板书设计（略）
五、课后记： |